Matrices
Las
matrices son muy utilizadas dentro del álgebra lineal como una herramienta para
resolver sistemas de ecuaciones. Para lograr entender el potencial de las
matrices es necesario entender lo básico de las mismas. De manera sencilla, una
matriz es un arreglo rectangular de números que contienen m (filas) y n (columnas) mejor escrito como un arreglo
mxn. Es importante mencionar que las matrices siempre están denotadas por una
letra mayúscula, como se muestra a continuación:
Recordemos que cada número dentro de la matriz esta denotado como
Donde i denota las filas, mientras que j denota las columnas. Esta es una manera más sencilla para poder localizar cada elemento dentro de la matriz, ya que tendremos la posición exacta de filas y columnas.
Operaciones Básicas
+ Suma y Resta
Para hacer la operaciones de suma y resta la única condición que debemos de respetar, es que las matrices sean del mismo orden. Es decir, que el número de filas y columnas de la matriz A sea igual al número de filas y columnas de la matriz B.
Ahora, para llevar a cabo las operaciones se debe hacer la suma o resta de cada uno de los elementos en la misma posición, como se muestra a continuación:
Sea A y B las matrices que vamos a utilizar
Entonces, tanto la suma como la resta estarían denotadas de la siguiente manera:
+ Multiplicación de Matrices por un escalar
En la multiplicación tenemos dos casos particulares. En el primer caso tenemos la multiplicación de la matriz por un escalar cualquiera. La cual denotaremos de la siguiente manera:
+ Multiplicación de Matrices
En el segundo caso tenemos la multiplicación de matrices donde usaremos la matriz A y la matriz D.
En este caso se nos es evidente observar que la matriz A es del orden 2x3 mientras que la matriz D es del orden 3x2. Esta es la única condición que necesitamos para poder realizar la multiplicación, es decir, el número de columnas de la matriz A debe ser igual al número de filas de la matriz D.
A continuación, realizaremos un ejercicio con el fin de poder explicarles mejor:
En el inciso 1) tomamos la primer fila de la matriz A y la multiplicamos por la primera columna de la matriz D. Una vez seleccionadas las filas y columnas, vamos a realizar la suma de estas multiplicaciones, es decir, primero multiplicamos el elemento a11 de la matriz A por el elemento d11 de la matriz D, a continuación, sumamos la multiplicación del elemento a12 de la matriz A por el elemento d21 de la matriz D. finalmente, se le suma la multiplicación del elemento a13 de la matriz A por el elemento d31. De tal manera, que el primer elemento de nuestra nueva matriz esta denotado por la suma de estas multiplicaciones como se puede ver en ROJO en la imagen.
Ahora en el inciso 2) se toma la primera fila de la matriz A y se multiplica por la segunda columna de la matriz D. Se realiza la multiplicación de cada elemento y la suma de estas multiplicaciones, de la misma forma que el inciso 1); este segundo elemento va a ser ubicado en la posición 12 de la nueva matriz, es decir, estará ubicado en la fila en 1 en la columna 2.
Este mismo procedimiento se realiza en los incisos 3) y 4) en donde el elemento resultante del inciso 3) estaría colocado en la posición 21. Mientras que el elemento resultante del inciso 4) estará ubicado en la posición 22.
+ Matriz Transpuesta
La matriz transpuesta es una operación necesaria dentro del mundo de matrices debido a que es utilizada para obtener la matriz inversa. Además, esta matriz nos ayuda a realizar diversas demostraciones. La operación de esta matriz consta en tomar la primera fila de la matriz y colocarla como la primera columna. A continuación se toma la segunda fila y se coloca como la segunda columna. Esta operación se realiza de acuerdo el número de filas que tenga la matriz. Cabe recalcar que la matriz transpuesta es denotada con la letra original que define a la matriz sólo que se le agrega un T como superíndice como se muestra en la siguiente imagen:
A continuación les dejo un vídeo en nuestro canal de Youtube explicando estos temas y otros como lo son la Matriz Skew y la matriz simétrica. Ver vídeo
+ Diagonal Principal y Traza
La Diagonal Principal es uno de los conceptos más importantes dentro del mundo de las matrices ya que la utilizaremos para obtener el determinante de matrices de más de 3x3. Bueno, en términos sencillos la diagonal principal no es más que todos los elementos en donde el número de filas es igual al número de columnas, es decir, todos los elementos a11, a22, a33 ..... anm donde n=m como lo vemos ejemplificado en la imagen.
Ahora la traza se construye a partir de la suma de todos aquellos elementos encontrados dentro de la diagonal principal.
+ Tipos de Matrices
Existen diferentes matrices de diferente orden de diferente todo, sin embargo, tenemos 5 matrices típicas de las cuales vale la pena hablar.
En primer lugar la matriz Unitaria es aquella matriz cuadrada en la cual todos sus elementos son 1 en su diagonal principal mientras que los otros elementos son ceros. Esta matriz es muy utilizada al momento de hacer demostraciones ya que la podemos utilizar como la unidad. Cuenta con una gran propiedad en donde una matriz multiplicada por la matriz unitaria nos va a dar la misma matriz, es decir:
AI = IA = A
La matriz Cero o Nula es bastante sencilla ya que todos los elementos dentro de esta son igual a cero y es denotada por una O o un cero 0 como se ve en la imagen.
La Matriz Cuadrada es una matriz en donde el número de filas es igual al número de columnas, es decir, n = m y la podemos escribir como nxn. Esta matriz es de la más usadas debido a que se cumplen todas las condiciones para poder hacer las operaciones básicas como lo son las sumas, restas o multiplicaciones.
Finalmente, la Matriz Fila y Columna son matrices básicas, en donde, claramente la matriz fila consta de elementos acomodados en una única fila. Ahora, la matriz Columna son elementos acomodados en una única columna. Estas dos matrices son utilizadas de manera común para realizar las operaciones de multiplicación.
+ Determinantes 2x2
Ahora aprenderemos a sacar determinantes de 2x2. Este es el caso ideal y uno de los más sencillos, básicamente lo que tenemos que hacer es multiplicar el elemento a11 por el elemento a22 y restarle la multiplicación de los elementos a12 por el elemento a21. Como se muestra en la imagen:
+ Menor
El menor es uno de los temas más sencillos, sin embargo, importantes ya que nos ayudarán a obtener los cofactores de una matríz. De manera sencilla, obtenemos el Menor mxn al remover las filas y columnas que nos menciona el menor y este se denota con los elementos restantes de la matriz. Vamos a ejemplificarlo, en el caso mostrado en la imagen en donde nos piden el Menor 22 removemos la fila y columna dos, de tal manera que los elementos restantes pasaran a ser parte de nuestra nueva matriz. Como segundo ejemplo, nos piden el Menor 13 de tal manera que esta vez removemos la fila 1 y la columna 3, observando que los elementos restantes de la matriz formarán parte de nuestra nueva matriz.
+ Cofactor
Una vez definido el concepto del menor vamos a introducirnos al concepto de COFACTOR ya que este es primordial para obtener la matriz inversa la cual utilizamos con gran regularidad para darle solución a diferentes sistemas de ecuaciones.
A partir de una matriz A obtenemos el cofactor denotado como A nxm; utilizando la fórmula mostrada en la imagen podemos observar que si la suma de n+m es par nuestro cofactor será positivo, por otra parte, si es impar nuestro cofactor será negativo. A continuación, se observa que se obtendrá el determinante del menor, que en el caso del ejercicio resulta ser una matriz sencilla de 2x2, sin embargo, podemos tener ejercicios donde el determinante sea de 3x3, 4x4... etc.
+ Determinantes 3x3
Vamos a entender como sacar determinantes de 3x3. Vamos a basarnos en los determinantes de 2x2. En primer lugar vamos a tomar la fila 1 y la columna 1, podemos observar que al quitar esta fila y columna obtenemos una matriz de 2x2 como vemos en el inciso 1). A continuación vamos a tomar el elemento que esta dentro de la unión de la fila 1 y columna 1 en este caso es el 9. Finalmente, el 9 va a multiplicar el determinante de la matriz 2x2 resultante. (Este seria nuestro primer paso)
A continuación, vamos a tomar la primera fila y la segunda columna. Realizaremos el mismo procedimiento en donde podemos observar que ahora el elemento que esta encerrado por la unión de la primera fila y la segunda columna es 1, sin embargo, la suma de la primera fila y segunda columna nos va a dar un número impar, por ende, en todas las sumas impares vamos a colocar un signo negativo en elemento encerrado es por esto que el determinante de la matriz 2x2 sera multiplicado por -1.
Ahora, se toma la primera fila y tercera columna, al ser su suma par no se agrega un negativo y podemos observar que el elemento resultante de la unión de la fila y columna seleccionada es 4. Este elemento se multiplica por el determinante de la matriz resultante.
Finalmente, se realiza las sumas y restas necesarias de todos los resultados obtenidos, siendo el resultado final el determinante de la matriz 3x3.
+ Matrices Triángulo Superior e Inferior
Las matrices de triángulo superior e inferior son muy utilizadas como alternativa para sacar determinantes de matrices mayores de 3x3 debido a que se pueden realizar operaciones sencillas con el fin de dejar una matriz A expresada como una matriz triangulo superior o inferior, en donde su determinante será la multiplicación de todos los elementos ubicados en la diagonal principal.
De manera muy sencilla, la matriz triangulo superior es aquella en donde sus elementos debajo de la diagonal principal son ceros, mientras que dentro de la matriz de triángulo inferior se observa que todos los elementos por encima de la diagonal principal son cero.
A continuación vamos a ver ejemplificado ambos casos:
+ Como sacar Determinantes 4x4 o más, utilizando la matriz triángulo superior
Partiendo de una matriz A cualquiera lo primero que haremos es hacer cero todos los elementos debajo del primer elemento de la diagonal principal, en este caso sería el elemento a11. ¿Como haremos esto? Bueno en la imagen pueden observar que tenemos marcados en rojo ciertas operaciones. En este caso se utiliza una fila pivote , es decir, utilizamos una fila la cual vamos a multiplicar por n número y después vamos a sumar o resta toda esa fila a otra con el fin de hacer cero un elemento.
Vamos más despacio. En este caso nuestro fila pivote es la primera fila, con lo elementos 1 5 2 4. De acuerdo a la primera operación marcada en rojo, esta primera fila la vamos a multiplicar por -3 de tal manera que nuestra fila ahora esta conformada por los elementos - 3-15 -6 -12. A continuación, estos elementos serán sumados a la fila 3 de tal manera que realizaremos esta operación en la fila 3 obteniendo los siguientes elementos (-3+3) (-15+0) (-6+1) (-12+1) = 0 -15 -5 -11 mostrados en la segunda parte de la figura. A continuación, realizaremos la operación 2) de la misma forma.
Podemos observar que en nuestra matriz resultante, ahora tenemos en ceros todos los elementos debajo de la diagonal superior. Ahora vamos a cambiar nuestra fila pivote por la segunda fila de la matriz resultante, debido a que en la segunda fila ya contamos con un cero en la posición a21 esto nos dice que al realizar cualquier operación NO modificará los ceros que anteriormente hemos realizado. Finalmente, se realizan las operación descritas en los incisos 3) y 4) con el fin de hacer ceros todos los elementos debajo del segundo elemento de la diagonal principal.
Obteniendo nuestra matriz resultante es evidente ver que falta hacer cero el último elemento ubicado debajo del tercer elemento de la diagonal principal. Para hacer este elemento cero, vamos a utilizar la tercera fila como nuestra fila pivote debido que al multiplicarla por cualquier número no afectara los ceros que previamente hemos realizado. Finalmente, al realizar la operación del inciso 5); obtenemos la matriz triangulo superior y no nos queda más que realizar la multiplicación de cada uno de los elementos de la diagonal principal para así obtener el determinante de la matriz.
+ Como sacar Determinantes 4x4 utilizando la matriz triángulo inferior
Sacar el determinante de una matriz a partir de una matriz triángulo inferior es similar al procedimiento de la matriz triángulo superior. En este caso vamos a comenzar haciendo ceros todos los elementos arriba del ultimo elemento de la diagonal principal utilizando la ultima fila de la matriz original como nuestra fila pivote y realizando la operaciones 1), 2) y 3).
Una vez realizadas estas operaciones obtenemos la matriz resultante del lado superior derecho de la imagen mostrando los ceros arriba del ultimo elemento de la diagonal principal. A continuación, utilizaremos la fila 2 como la fila pivote con el fin de no dañar los ceros que hemos realizados. Al realizar las operaciones 4) y 5) mostradas en la parte de abajo de la matriz resultante lograremos hacer cero los elementos superiores al 3er elemento de la diagonal principal.
Ahora, podemos ver en la imagen en la parte derecha inferior la matriz resultante de estas operaciones. Es evidente ver que estamos a punto de conseguir la matriz triángulo inferior únicamente nos hace falta hacer cero el elemento superior al segundo elemento de la diagonal principal, procedimiento que podemos lograr a partir de la última operación marcada en la parte baje de esa matriz.
Finalmente, obtenemos la matriz triángulo inferior, en donde vamos a extraer los elementos ubicados en la diagonal principal y vamos a multiplicarlos con el fin de obtener el determinante de la matriz A (original).
En caso de que tengas mas dudas de como utilizar la matriz triangulo superior les dejo este vídeo de nuestro canal de Youtube: Matriz Triangulo Superior e Inferior
Ejercicios Recomendados (Canal YT)
Formulario Matrices - DESCARGAR
Bibliografía Recomendada
