Teorema de Divergencia de Gauss

 Teorema Divergencia de Gauss

Una vez aprendido el operador nabla y las integrales de línea, superficie y volumen vamos a observar que existe una relación entre una integral doble sobre alguna regiones de R en el plano y una integral de línea, así como existe una relación entre la integral de volumen y la integral doble de superficie.

De manera muy simple tenemos que el teorema de divergencia de Gauss el cual podemos diferenciarlo de manera muy sencilla porque esta basado en el productor punto. Como todo lo que conocemos de Gauss vamos a suponer que tenemos un volumen V el cual estará limitado por una superficie cerrada S en donde tendremos una función vectorial de posición A, como hemos definido anteriormente, la cual tiene derivadas continuas. Entonces tendremos las siguientes igualdades.

Básicamente esto nos dice que la integral de superficie de la normal de un vector A tomando en una superficie cerrada, es igual a la integral de la divergencia de A tomado sobre un volumen encerrado por la misma superficie. 

Los puntos que debemos recordar son

1. La divergencia esta denotada por el producto punto entre nabla y el vector posición en donde obtendremos un escalar. 

2. dv lo podemos escribir como dxdydz

3. Hay que definir antes los intervalos de integración

Con respecto a la integral de superficie

1. n es el vector normal a la superficie

2. El productor punto nos dará un vector

3. Para obtener la intervalos de integración no olvides dejar toda la integral en términos de una variable. 

Formulario:  http://j.gs/Emus

Vídeo de Teoría y ejemplos:

Cálculo Vectorial - Gradiente - Divergencia - Rotacional

 Gradiente

Para realizar esta operación vamos a necesitar un operador vectorial diferencial cuyo símbolo es un triángulo invertido y es llamado Operador Nabla. Lo vamos a definir de la siguiente forma: 

Podemos observar que para realizar estas operaciones vamos a necesitar de nuestros conocimientos en derivadas diferenciales. Además cada una de las derivadas va a acompaña por los vectores unitarios i, j k. 

Cuando realizamos esta operación vamos a utilizar una función phi (x, y, z) la cuál es un función escalar definida y diferenciales en cada punto , esta operación se define de la siguiente manera: 

Básicamente esta operación consiste en hacer las derivadas parciales con respecto de x, y, z, y colocarlas en la posición de su vector unitario i, j ,k. Podemos observar que esta operación nos dará como resultado un vector y estaremos definiendo un campo vectorial. 

Divergencia. 

La divergencia es la segunda operación que podemos hacer con este operador. Para poder hacer esta operación necesitamos un vector A el cual esta definido y es diferenciable en cada punto (x, y, z)  en una región del espacio. Esta operación la vamos definir como el producto punto del operador nabla y el vector A. 

Podemos observar que utilizando las propiedades del producto punto obtendremos un escalar, como se puede ver en la imagen. Únicamente tendremos que realizar las derivas parciales de A1, A2 y A3 con respecto a x, y, z para obtener la divergencia de un vector. 

Rotacional

En el caso del rotacional tenemos que recordar como sacar determinantes de 3x3 . Como vimos anteriormente en la divergencia necesitamos un campo vectorial diferenciable el cual definimos como nuestro vector A (x, y, z) entonces el rotacional vamos a definirlo como el producto cruz entre el gradiente  y el vector A:

Podemos observar que esta operación la podemos realizar por medio de la obtención del determinante de una matriz de 3x3. De manera resumida, puedes hacer las parciales de las posiciones A1, A2 y A3 con respecto de x, y, z hacer las operaciones pertinentes y colocarlas junto a su vector unitario i, j o k. Finalmente, podemos concluir que esta operación nos va a dar otro vector. 

A continuación te dejo un link en donde puedes descargar un formulario que te ayudara a hacer tus ejercicios. También puedes encontrar un link hacia nuestro canal de YT en donde explicamos estas operación y tenemos diferentes ejercicios. 

Formulario:  http://j.gs/Emus 

Youtube: