+ Determinantes 2x2
Ahora aprenderemos a sacar determinantes de 2x2. Este es el caso ideal y uno de los más sencillos, básicamente lo que tenemos que hacer es multiplicar el elemento a11 por el elemento a22 y restarle la multiplicación de los elementos a12 por el elemento a21. Como se muestra en la imagen:
Cabe recalcar que los determinantes se escriben como det A o como valor absoluto.
+ Menor
El menor es uno de los temas más sencillos, sin embargo, importantes ya que nos ayudarán a obtener los cofactores de una matríz. De manera sencilla, obtenemos el Menor mxn al remover las filas y columnas que nos menciona el menor y este se denota con los elementos restantes de la matriz. Vamos a ejemplificarlo, en el caso mostrado en la imagen en donde nos piden el Menor 22 removemos la fila y columna dos, de tal manera que los elementos restantes pasaran a ser parte de nuestra nueva matriz. Como segundo ejemplo, nos piden el Menor 13 de tal manera que esta vez removemos la fila 1 y la columna 3, observando que los elementos restantes de la matriz formarán parte de nuestra nueva matriz.
+ Cofactor
Una vez definido el concepto del menor vamos a introducirnos al concepto de COFACTOR ya que este es primordial para obtener la matriz inversa la cual utilizamos con gran regularidad para darle solución a diferentes sistemas de ecuaciones.
A partir de una matriz A obtenemos el cofactor denotado como A nxm; utilizando la fórmula mostrada en la imagen podemos observar que si la suma de n+m es par nuestro cofactor será positivo, por otra parte, si es impar nuestro cofactor será negativo. A continuación, se observa que se obtendrá el determinante del menor, que en el caso del ejercicio resulta ser una matriz sencilla de 2x2, sin embargo, podemos tener ejercicios donde el determinante sea de 3x3, 4x4... etc.
+ Determinantes 3x3
Vamos a entender como sacar determinantes de 3x3. Vamos a basarnos en los determinantes de 2x2. En primer lugar vamos a tomar la fila 1 y la columna 1, podemos observar que al quitar esta fila y columna obtenemos una matriz de 2x2 como vemos en el inciso 1). A continuación vamos a tomar el elemento que esta dentro de la unión de la fila 1 y columna 1 en este caso es el 9. Finalmente, el 9 va a multiplicar el determinante de la matriz 2x2 resultante. (Este seria nuestro primer paso)
A continuación, vamos a tomar la primera fila y la segunda columna. Realizaremos el mismo procedimiento en donde podemos observar que ahora el elemento que esta encerrado por la unión de la primera fila y la segunda columna es 1, sin embargo, la suma de la primera fila y segunda columna nos va a dar un número impar, por ende, en todas las sumas impares vamos a colocar un signo negativo en elemento encerrado es por esto que el determinante de la matriz 2x2 sera multiplicado por -1.
Ahora, se toma la primera fila y tercera columna, al ser su suma par no se agrega un negativo y podemos observar que el elemento resultante de la unión de la fila y columna seleccionada es 4. Este elemento se multiplica por el determinante de la matriz resultante.
Finalmente, se realiza las sumas y restas necesarias de todos los resultados obtenidos, siendo el resultado final el determinante de la matriz 3x3.
+ Matrices Triángulo Superior e Inferior
Las matrices de triángulo superior e inferior son muy utilizadas como alternativa para sacar determinantes de matrices mayores de 3x3 debido a que se pueden realizar operaciones sencillas con el fin de dejar una matriz A expresada como una matriz triangulo superior o inferior, en donde su determinante será la multiplicación de todos los elementos ubicados en la diagonal principal.
De manera muy sencilla, la matriz triangulo superior es aquella en donde sus elementos debajo de la diagonal principal son ceros, mientras que dentro de la matriz de triángulo inferior se observa que todos los elementos por encima de la diagonal principal son cero.
A continuación vamos a ver ejemplificado ambos casos:
+ Como sacar Determinantes 4x4 o más, utilizando la matriz triángulo superior
Partiendo de una matriz A cualquiera lo primero que haremos es hacer cero todos los elementos debajo del primer elemento de la diagonal principal, en este caso sería el elemento a11. ¿Como haremos esto? Bueno en la imagen pueden observar que tenemos marcados en rojo ciertas operaciones. En este caso se utiliza una fila pivote , es decir, utilizamos una fila la cual vamos a multiplicar por n número y después vamos a sumar o resta toda esa fila a otra con el fin de hacer cero un elemento.
Vamos más despacio. En este caso nuestro fila pivote es la primera fila, con lo elementos 1 5 2 4. De acuerdo a la primera operación marcada en rojo, esta primera fila la vamos a multiplicar por -3 de tal manera que nuestra fila ahora esta conformada por los elementos - 3-15 -6 -12. A continuación, estos elementos serán sumados a la fila 3 de tal manera que realizaremos esta operación en la fila 3 obteniendo los siguientes elementos (-3+3) (-15+0) (-6+1) (-12+1) = 0 -15 -5 -11 mostrados en la segunda parte de la figura. A continuación, realizaremos la operación 2) de la misma forma.
Podemos observar que en nuestra matriz resultante, ahora tenemos en ceros todos los elementos debajo de la diagonal superior. Ahora vamos a cambiar nuestra fila pivote por la segunda fila de la matriz resultante, debido a que en la segunda fila ya contamos con un cero en la posición a21 esto nos dice que al realizar cualquier operación NO modificará los ceros que anteriormente hemos realizado. Finalmente, se realizan las operación descritas en los incisos 3) y 4) con el fin de hacer ceros todos los elementos debajo del segundo elemento de la diagonal principal.
Obteniendo nuestra matriz resultante es evidente ver que falta hacer cero el último elemento ubicado debajo del tercer elemento de la diagonal principal. Para hacer este elemento cero, vamos a utilizar la tercera fila como nuestra fila pivote debido que al multiplicarla por cualquier número no afectara los ceros que previamente hemos realizado. Finalmente, al realizar la operación del inciso 5); obtenemos la matriz triangulo superior y no nos queda más que realizar la multiplicación de cada uno de los elementos de la diagonal principal para así obtener el determinante de la matriz.
+ Como sacar Determinantes 4x4 utilizando la matriz triángulo inferior
Sacar el determinante de una matriz a partir de una matriz triángulo inferior es similar al procedimiento de la matriz triángulo superior. En este caso vamos a comenzar haciendo ceros todos los elementos arriba del ultimo elemento de la diagonal principal utilizando la ultima fila de la matriz original como nuestra fila pivote y realizando la operaciones 1), 2) y 3).
Una vez realizadas estas operaciones obtenemos la matriz resultante del lado superior derecho de la imagen mostrando los ceros arriba del ultimo elemento de la diagonal principal. A continuación, utilizaremos la fila 2 como la fila pivote con el fin de no dañar los ceros que hemos realizados. Al realizar las operaciones 4) y 5) mostradas en la parte de abajo de la matriz resultante lograremos hacer cero los elementos superiores al 3er elemento de la diagonal principal.
Ahora, podemos ver en la imagen en la parte derecha inferior la matriz resultante de estas operaciones. Es evidente ver que estamos a punto de conseguir la matriz triángulo inferior únicamente nos hace falta hacer cero el elemento superior al segundo elemento de la diagonal principal, procedimiento que podemos lograr a partir de la última operación marcada en la parte baje de esa matriz.
Finalmente, obtenemos la matriz triángulo inferior, en donde vamos a extraer los elementos ubicados en la diagonal principal y vamos a multiplicarlos con el fin de obtener el determinante de la matriz A (original).
Ejercicios Recomendados (Canal YT)
Bibliografía Recomendada
