Teorema de Divergencia de Gauss

 Teorema Divergencia de Gauss

Una vez aprendido el operador nabla y las integrales de línea, superficie y volumen vamos a observar que existe una relación entre una integral doble sobre alguna regiones de R en el plano y una integral de línea, así como existe una relación entre la integral de volumen y la integral doble de superficie.

De manera muy simple tenemos que el teorema de divergencia de Gauss el cual podemos diferenciarlo de manera muy sencilla porque esta basado en el productor punto. Como todo lo que conocemos de Gauss vamos a suponer que tenemos un volumen V el cual estará limitado por una superficie cerrada S en donde tendremos una función vectorial de posición A, como hemos definido anteriormente, la cual tiene derivadas continuas. Entonces tendremos las siguientes igualdades.

Básicamente esto nos dice que la integral de superficie de la normal de un vector A tomando en una superficie cerrada, es igual a la integral de la divergencia de A tomado sobre un volumen encerrado por la misma superficie. 

Los puntos que debemos recordar son

1. La divergencia esta denotada por el producto punto entre nabla y el vector posición en donde obtendremos un escalar. 

2. dv lo podemos escribir como dxdydz

3. Hay que definir antes los intervalos de integración

Con respecto a la integral de superficie

1. n es el vector normal a la superficie

2. El productor punto nos dará un vector

3. Para obtener la intervalos de integración no olvides dejar toda la integral en términos de una variable. 

Formulario:  http://j.gs/Emus

Vídeo de Teoría y ejemplos:

Integrales de Línea

 Integrales de Línea

Para las integrales de línea vamos a definir un vector posición r (u) el cual va a ser igual a r(u) = x (u) i + y (u) j + z (u) k para puntos cualquiera dado P (x, y, z) y este vector posición define una curva que una los puntos P1 y P2. Ahora, vamos a suponer que la curva C estará compuesta de un número finito de curvas en donde para cada una de estas curvas, nuestro vector posición r(u) va tener una derivada. 

A continuación vamos a necesitar una función vectorial de posición definida y continuar a lo largo de la curva C y esta función será A (x, y z) = A1i + A2j  + A3k de tal manera que vamos a definir la integral de línea de A a lo largo de la curva C entre dos puntos P1 y P2. De tal manera que vamos a obtener el producto punto de la función A y el vector posición r(u) para obtener la primer integral de la imagen. (Recuerda que obtendremos un escalar)

También será común encontrarnos con ejercicios donde tengamos una curva cerrada, es decir, una curva que no se interseca consigo misma en ningún punto, para esos casos denotaremos la integral como la segunda integral de la imagen, siendo la integral cerrada del productor punto de la función A y el vector posición r(u) obteniendo un escalar. 

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Teoría y Ejercicios: