Matriz Triangulo Superior e Inferior
Las matrices de triángulo superior e inferior son muy utilizadas como alternativa para sacar determinantes de matrices mayores de 3x3 debido a que se pueden realizar operaciones sencillas con el fin de dejar una matriz A expresada como una matriz triangulo superior o inferior, en donde su determinante será la multiplicación de todos los elementos ubicados en la diagonal principal.
De manera muy sencilla, la matriz triangulo superior es aquella en donde sus elementos debajo de la diagonal principal son ceros, mientras que dentro de la matriz de triángulo inferior se observa que todos los elementos por encima de la diagonal principal son cero.
A continuación vamos a ver ejemplificado ambos casos:
+ Como sacar Determinantes 4x4 o más, utilizando la matriz triángulo superior
Partiendo de una matriz A cualquiera lo primero que haremos es hacer cero todos los elementos debajo del primer elemento de la diagonal principal, en este caso sería el elemento a11. ¿Como haremos esto? Bueno en la imagen pueden observar que tenemos marcados en rojo ciertas operaciones. En este caso se utiliza una fila pivote , es decir, utilizamos una fila la cual vamos a multiplicar por n número y después vamos a sumar o resta toda esa fila a otra con el fin de hacer cero un elemento.
Vamos más despacio. En este caso nuestro fila pivote es la primera fila, con lo elementos 1 5 2 4. De acuerdo a la primera operación marcada en rojo, esta primera fila la vamos a multiplicar por -3 de tal manera que nuestra fila ahora esta conformada por los elementos - 3-15 -6 -12. A continuación, estos elementos serán sumados a la fila 3 de tal manera que realizaremos esta operación en la fila 3 obteniendo los siguientes elementos (-3+3) (-15+0) (-6+1) (-12+1) = 0 -15 -5 -11 mostrados en la segunda parte de la figura. A continuación, realizaremos la operación 2) de la misma forma.
Podemos observar que en nuestra matriz resultante, ahora tenemos en ceros todos los elementos debajo de la diagonal superior. Ahora vamos a cambiar nuestra fila pivote por la segunda fila de la matriz resultante, debido a que en la segunda fila ya contamos con un cero en la posición a21 esto nos dice que al realizar cualquier operación NO modificará los ceros que anteriormente hemos realizado. Finalmente, se realizan las operación descritas en los incisos 3) y 4) con el fin de hacer ceros todos los elementos debajo del segundo elemento de la diagonal principal.
Obteniendo nuestra matriz resultante es evidente ver que falta hacer cero el último elemento ubicado debajo del tercer elemento de la diagonal principal. Para hacer este elemento cero, vamos a utilizar la tercera fila como nuestra fila pivote debido que al multiplicarla por cualquier número no afectara los ceros que previamente hemos realizado. Finalmente, al realizar la operación del inciso 5); obtenemos la matriz triangulo superior y no nos queda más que realizar la multiplicación de cada uno de los elementos de la diagonal principal para así obtener el determinante de la matriz.
+ Como sacar Determinantes 4x4 utilizando la matriz triángulo inferior
Sacar el determinante de una matriz a partir de una matriz triángulo inferior es similar al procedimiento de la matriz triángulo superior. En este caso vamos a comenzar haciendo ceros todos los elementos arriba del ultimo elemento de la diagonal principal utilizando la ultima fila de la matriz original como nuestra fila pivote y realizando la operaciones 1), 2) y 3).
Una vez realizadas estas operaciones obtenemos la matriz resultante del lado superior derecho de la imagen mostrando los ceros arriba del ultimo elemento de la diagonal principal. A continuación, utilizaremos la fila 2 como la fila pivote con el fin de no dañar los ceros que hemos realizados. Al realizar las operaciones 4) y 5) mostradas en la parte de abajo de la matriz resultante lograremos hacer cero los elementos superiores al 3er elemento de la diagonal principal.
Ahora, podemos ver en la imagen en la parte derecha inferior la matriz resultante de estas operaciones. Es evidente ver que estamos a punto de conseguir la matriz triángulo inferior únicamente nos hace falta hacer cero el elemento superior al segundo elemento de la diagonal principal, procedimiento que podemos lograr a partir de la última operación marcada en la parte baje de esa matriz.
Finalmente, obtenemos la matriz triángulo inferior, en donde vamos a extraer los elementos ubicados en la diagonal principal y vamos a multiplicarlos con el fin de obtener el determinante de la matriz A (original).
En caso de que tengas mas dudas de como utilizar la matriz triangulo superior les dejo este vídeo de nuestro canal de Youtube: Matriz Triangulo Superior e Inferior
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