Teorema de Divergencia de Gauss

 Teorema Divergencia de Gauss

Una vez aprendido el operador nabla y las integrales de línea, superficie y volumen vamos a observar que existe una relación entre una integral doble sobre alguna regiones de R en el plano y una integral de línea, así como existe una relación entre la integral de volumen y la integral doble de superficie.

De manera muy simple tenemos que el teorema de divergencia de Gauss el cual podemos diferenciarlo de manera muy sencilla porque esta basado en el productor punto. Como todo lo que conocemos de Gauss vamos a suponer que tenemos un volumen V el cual estará limitado por una superficie cerrada S en donde tendremos una función vectorial de posición A, como hemos definido anteriormente, la cual tiene derivadas continuas. Entonces tendremos las siguientes igualdades.

Básicamente esto nos dice que la integral de superficie de la normal de un vector A tomando en una superficie cerrada, es igual a la integral de la divergencia de A tomado sobre un volumen encerrado por la misma superficie. 

Los puntos que debemos recordar son

1. La divergencia esta denotada por el producto punto entre nabla y el vector posición en donde obtendremos un escalar. 

2. dv lo podemos escribir como dxdydz

3. Hay que definir antes los intervalos de integración

Con respecto a la integral de superficie

1. n es el vector normal a la superficie

2. El productor punto nos dará un vector

3. Para obtener la intervalos de integración no olvides dejar toda la integral en términos de una variable. 

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Vídeo de Teoría y ejemplos:

Integrales de Volumen

 Integrales de Volumen

De manera similar a las integrales de Superficie vamos a definir un dV siendo una parte del Volumen. Este dV lo podemos escribir como dx dy dz debido a que nuestro volumen va estar en las tres dimensiones. Dado que no tenemos que hacer algún productor punto o cruz solo debemos hacer la multiplicación de dxdydz con respecto al vector A que nos den. Después debemos definir los límites de las integrales con respecto a x, y z para comenzar a Integrar. 

Las integrales de Volumen las vamos a definir de la siguiente manera. 

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Video de Teoría con Ejemplos: 

Integrales de Superficie

 Integrales de Superficie

En este caso como bien nos indica el título vamos a necesitar una superficie y un vector normal unitario, n, a cualquier punto de la superficie. A partir de esta superficie podemos usar una pequeña parte de esta obteniendo un vector dS de magnitud dS el cual va en dirección n entonces como bien sabemos podemos denotarlo como dS = n dS. Entonces la Integral de Superficie la podemos definir de la siguiente manera: 

Finalmente, podemos observar que al realizar este producto punto nos lleva a obtener un escalar. 

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Video de Teoría con Ejercicios: 

 

Integrales de Línea

 Integrales de Línea

Para las integrales de línea vamos a definir un vector posición r (u) el cual va a ser igual a r(u) = x (u) i + y (u) j + z (u) k para puntos cualquiera dado P (x, y, z) y este vector posición define una curva que una los puntos P1 y P2. Ahora, vamos a suponer que la curva C estará compuesta de un número finito de curvas en donde para cada una de estas curvas, nuestro vector posición r(u) va tener una derivada. 

A continuación vamos a necesitar una función vectorial de posición definida y continuar a lo largo de la curva C y esta función será A (x, y z) = A1i + A2j  + A3k de tal manera que vamos a definir la integral de línea de A a lo largo de la curva C entre dos puntos P1 y P2. De tal manera que vamos a obtener el producto punto de la función A y el vector posición r(u) para obtener la primer integral de la imagen. (Recuerda que obtendremos un escalar)

También será común encontrarnos con ejercicios donde tengamos una curva cerrada, es decir, una curva que no se interseca consigo misma en ningún punto, para esos casos denotaremos la integral como la segunda integral de la imagen, siendo la integral cerrada del productor punto de la función A y el vector posición r(u) obteniendo un escalar. 

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Teoría y Ejercicios: 

Cálculo Vectorial - Gradiente - Divergencia - Rotacional

 Gradiente

Para realizar esta operación vamos a necesitar un operador vectorial diferencial cuyo símbolo es un triángulo invertido y es llamado Operador Nabla. Lo vamos a definir de la siguiente forma: 

Podemos observar que para realizar estas operaciones vamos a necesitar de nuestros conocimientos en derivadas diferenciales. Además cada una de las derivadas va a acompaña por los vectores unitarios i, j k. 

Cuando realizamos esta operación vamos a utilizar una función phi (x, y, z) la cuál es un función escalar definida y diferenciales en cada punto , esta operación se define de la siguiente manera: 

Básicamente esta operación consiste en hacer las derivadas parciales con respecto de x, y, z, y colocarlas en la posición de su vector unitario i, j ,k. Podemos observar que esta operación nos dará como resultado un vector y estaremos definiendo un campo vectorial. 

Divergencia. 

La divergencia es la segunda operación que podemos hacer con este operador. Para poder hacer esta operación necesitamos un vector A el cual esta definido y es diferenciable en cada punto (x, y, z)  en una región del espacio. Esta operación la vamos definir como el producto punto del operador nabla y el vector A. 

Podemos observar que utilizando las propiedades del producto punto obtendremos un escalar, como se puede ver en la imagen. Únicamente tendremos que realizar las derivas parciales de A1, A2 y A3 con respecto a x, y, z para obtener la divergencia de un vector. 

Rotacional

En el caso del rotacional tenemos que recordar como sacar determinantes de 3x3 . Como vimos anteriormente en la divergencia necesitamos un campo vectorial diferenciable el cual definimos como nuestro vector A (x, y, z) entonces el rotacional vamos a definirlo como el producto cruz entre el gradiente  y el vector A:

Podemos observar que esta operación la podemos realizar por medio de la obtención del determinante de una matriz de 3x3. De manera resumida, puedes hacer las parciales de las posiciones A1, A2 y A3 con respecto de x, y, z hacer las operaciones pertinentes y colocarlas junto a su vector unitario i, j o k. Finalmente, podemos concluir que esta operación nos va a dar otro vector. 

A continuación te dejo un link en donde puedes descargar un formulario que te ayudara a hacer tus ejercicios. También puedes encontrar un link hacia nuestro canal de YT en donde explicamos estas operación y tenemos diferentes ejercicios. 

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