Números Complejos
Los números complejos son denotados usualmente con una letra z y estos tienen la forma a + ib donde a usualmente se sustituye con x y b con y. Estos números se caracterizan por tener una parte real e imaginaria, en donde a es la parte real mientras que b es la parte imaginaria. En dado caso que a = 0 tendríamos z = ib siendo esta la representación de un número imaginario puro.
Dentro de los números complejos existe el complejo conjugado denotado con un superíndice en la z (como se muestra en la imagen) básicamente este número consta en poner un signo negativo en la parte imaginaria del complejo. El complejo conjugado es bastante usado al momento de racionalizar una fracción y de igual manera se puede utilizar al momento de normalizar una función.
La parte imaginaria nace de la raíz de un número negativo, enfocándonos específicamente al número menos uno. Siendo esta denominada la parte imaginaria. Hay varias operaciones que destacan entre los imaginarios siendo la multiplicación la más importante. Como se observa en la imagen, al multiplicar i por i obtendríamos una i elevada al cuadrado que al sustituir por la raíz de -1 obtendríamos que i elevado al cuadrado es igual a -1. Siendo esta una operación fundamental dado que es muy usada y confusa dentro de los números complejos.
Operaciones Fundamentales
Como se puede observar en la imagen, la suma de dos números complejos comienza por la suma de las partes reales siendo ( a + c ). A continuación se realiza la suma de la parte real de la parte imaginaria siendo (b + d). Finalmente, colocamos la parte imaginaria de la suma i(b + d) obteniendo como resultado (a + c) + i (b + d).
Al realizar la resta de dos números complejos se siguen los mimos pasos. En primer lugar, se realiza la resta de las partes reales (a - c). A continuación, se realiza la resta de la parte real de la parte imaginaria (b - d). Finalmente, colocamos la parte imaginaria de la resta i(b -d) obteniendo como resultado (a- c) + i(b - d). Como se muestra en la siguiente imagen.
+ Multiplicación
Para realizar la multiplicación de dos números complejos se utiliza el álgebra aprendida en la multiplicación de dos polinomios, es decir, en primer lugar a multiplicara todo el segundo número complejo, después la parte imaginaria ib multiplicara el segundo número complejo para que al final separemos la parte real y la parte imaginaria con el fin de volverlo a escribir es su forma z = x + ib como se muestra en la imagen.
NOTA: Recuerda que al momento de multiplica (ib)(id) = -bd debido que al multiplicar i por i obtendremos -1.
El caso de la división no es como la división en los números reales. Esta vez se emplea el complejo conjugado del denominador, el cuál es multiplicado por toda la fracción original con el fin de poder obtener las partes reales e imaginarias de la fracción.
+ Módulo
El módulo de los números complejos nos ayuda a entender la expresión dada en el problema. De hecho, es bastante útil para determinar la zona y el plano z en la que estamos trabajando. En nuestro canal de YT pueden encontrar algunos videos de ejercicios resueltos utilizando el módulo Ejercicio 1 y Ejercicio 2 . Sin embargo, esta expresión se define como el valor absoluto de z , la cual podemos escribir como la raíz cuadrada de las partes reales de la función compleja siendo x y y elevados al cuadrado como se observa en la imagen.
+ Forma Polar
Utilizando nuestros conocimientos pasados en coordenadas polares podemos observar que al trazar un circulo de radio R, podemos definir tanto las variables x como y entorno a ese circulo de tal manera x = r cos teta y y = r sen teta, como se muestra en la imagen. Una vez definidas estas variables podemos proceder a sustituir en nuestra función compleja obteniendo z = r (cos teta + i sen teta) siendo esta la función compleja expresa en su forma polar
+ Formula de Euler
Euler siendo un avanzado matemático logró introducir el uso de las funciones exponenciales con las funciones trigonométricas. De ahí que en la parte inferior de la imagen se puede observar de manera resumida su formula siendo bastante útil al momento de utilizar complejos. En términos sencillos nos dice que si tenemos una función exponencial compleja es decir, e elevado a la iteta esta función la podemos expresar en funciones trigonométricas como se muestra en la imagen.
+ Transformaciones
Las transformaciones son otra manera en la que podemos trabajar los números complejos. La idea con la que vamos a trabajar nos dice que para cada punto que existe en el plano z existe ese punto en el plano w para entenderlo con más detalle vamos a enfocarnos en el ejercicio de abajo.
En primer lugar tenemos que entender que la función de w estará dada por las variables u y v la cual vamos a escribir como w = u + iv siendo u la parte real y v la parte imaginaria. Entonces comenzando con una función de z siendo z elevado al cuadrado con los puntos (1, 2) comenzamos desarrollando el binomio cuadrado obteniendo z elevado al cuadrado es igual a x elevado al cuadrado + 2ixy menos y elevado al cuadrado.
Ahora es cuando entra a detalle la transformación, en donde vamos a tomar la parte real (u) siendo x elevado al cuadrado menos y elevado al cuadrado y la parte imaginaria (v) siendo 2xy. Finalmente, tenemos que sustituir los puntos (1, 2) con el fin de observar que el plano w existen un punto ubicado en (-3 , 4) que es una transformación de la función compleja original del punto (1,2) como se observa en la imagen.
Acá te dejo un video de nuestro canal de Yt en donde puedes observar paso a paso como realizar este procedimiento y en donde puedes encontrar videos de ejercicios resueltos. VIDEO
+ Funciones Analíticas y Armónicas
Básicamente una función es analítica si existe la derivada en todos los puntos Z de una región R. Para poder confirmar si una función es analítica o no, se utilizarán las ecuaciones de Chauchy - Rieman mostradas en la imagen como Funciones Analíticas en donde a partir de la transformación vista anteriormente, tenemos que obtener las derivadas parciales con respecto a x de la función u y esta tiene que ser igual a la derivada parcial de la función v con respecto a y. A continuación, debemos sacar la derivada parcial de la función u con respecto a y y esta tiene que ser igual a la derivada parcial de v con respecto a x. De tal manera que sí ambas derivas son iguales podemos asegurar que nuestra función será analítica. A continuación te dejo un video en donde puedes ver estas funciones aplicadas a un ejercicio. VIDEO
En el caso de las funciones armónicas nos dicen que si la suma de la segundas derivadas de u y v con respecto a x y y existen y son continuas en una región R entonces la parte real e imaginaria de la función satisfacen las ecuaciones de laPlace siendo funciones armónicas. VIDEO
La Fórmula de la Integral de Cauchy es bastante práctica ya que nos dice que si tenemos una función z la cual es analítica dentro y en la curva y además a es un punto interior en c entonces podemos aplicar la integral a la función de z directamente. En la imagen podemos observar una segunda ecuación, esta será la ecuación que vamos a utilizar para obtener la derivada enésima de la función de z cuando z = a.
Como todo concepto de la integral es más sencillo cuando lo aplicamos de tal manera que a continuación te dejos unos link de ejercicios resueltos con aplicando la formula de la integral de Cauchy. Ejercicio 1 y Teoría
Estas formulas son de gran utilidad ya que muestra que si la función se conoce en la curva cerrada entonces también se pueden calcular diversas derivas en el punto c.
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