Cálculo Vectorial - Gradiente - Divergencia - Rotacional

 Gradiente

Para realizar esta operación vamos a necesitar un operador vectorial diferencial cuyo símbolo es un triángulo invertido y es llamado Operador Nabla. Lo vamos a definir de la siguiente forma: 

Podemos observar que para realizar estas operaciones vamos a necesitar de nuestros conocimientos en derivadas diferenciales. Además cada una de las derivadas va a acompaña por los vectores unitarios i, j k. 

Cuando realizamos esta operación vamos a utilizar una función phi (x, y, z) la cuál es un función escalar definida y diferenciales en cada punto , esta operación se define de la siguiente manera: 

Básicamente esta operación consiste en hacer las derivadas parciales con respecto de x, y, z, y colocarlas en la posición de su vector unitario i, j ,k. Podemos observar que esta operación nos dará como resultado un vector y estaremos definiendo un campo vectorial. 

Divergencia. 

La divergencia es la segunda operación que podemos hacer con este operador. Para poder hacer esta operación necesitamos un vector A el cual esta definido y es diferenciable en cada punto (x, y, z)  en una región del espacio. Esta operación la vamos definir como el producto punto del operador nabla y el vector A. 

Podemos observar que utilizando las propiedades del producto punto obtendremos un escalar, como se puede ver en la imagen. Únicamente tendremos que realizar las derivas parciales de A1, A2 y A3 con respecto a x, y, z para obtener la divergencia de un vector. 

Rotacional

En el caso del rotacional tenemos que recordar como sacar determinantes de 3x3 . Como vimos anteriormente en la divergencia necesitamos un campo vectorial diferenciable el cual definimos como nuestro vector A (x, y, z) entonces el rotacional vamos a definirlo como el producto cruz entre el gradiente  y el vector A:

Podemos observar que esta operación la podemos realizar por medio de la obtención del determinante de una matriz de 3x3. De manera resumida, puedes hacer las parciales de las posiciones A1, A2 y A3 con respecto de x, y, z hacer las operaciones pertinentes y colocarlas junto a su vector unitario i, j o k. Finalmente, podemos concluir que esta operación nos va a dar otro vector. 

A continuación te dejo un link en donde puedes descargar un formulario que te ayudara a hacer tus ejercicios. También puedes encontrar un link hacia nuestro canal de YT en donde explicamos estas operación y tenemos diferentes ejercicios. 

Formulario:  http://j.gs/Emus 

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