Mínimo Común Múltiplio

 

Mínimo Común Múltiplo (MCM)

El mínimo común múltiplo es el menor número de los múltiplos que es común a un conjunto de números. Este múltiplo se utiliza cuando realizamos cualquier operación en donde intervienen tres o más fracciones. Podemos observar que en el siguiente ejemplo tenemos la suma y resta de tres fracciones. Para realizar esta operación simultáneamente tenemos que obtener el mínimo común múltiplo. 

Vamos a comenzar denotando el conjunto de números que vamos a utilizar, en este caso, van a ser los denominadores de las fracciones. Se traza una línea junto a este conjunto de números, denotando una separación con las operaciones que vamos a realizar. 

A continuación, vamos a descomponer los conjuntos de números; es decir, vamos a reducirlos a la unidad (a uno) y esto lo vamos a realizar dividiendo estos números en enteros más pequeños. Podemos observar que tenemos un dos al lado de nuestro conjunto de números. Este dos denota que vamos a dividir el conjunto de números entre dos. Entonces, al realizar la división colocamos el resultado debajo del mismo conjunto de números observando que únicamente el 8 tiene mitad, mientras que el 5 y el 3 no, por lo cual permanecerán iguales. Se repite la operación de división entre 2 hasta que no haya un entero dentro del conjunto de números que pueda ser divisible entre dos. A continuación se realiza el mismo procedimiento con los enteros siguientes más pequeños. Es evidente observar que el 3 es un número primo el cual es divisible entre el mismo así como el 5, de tal manera que se colocan tanto el 3 como 5 para obtener finalmente, la unidad del conjunto de números previamente seleccionados. 

NOTA: Los múltiplos por los cuales se realizan las divisiones, no pueden ser mayores a 7. 

Una vez  reducidos todos los elementos del conjunto de números a la unidad, se realiza la multiplicación de todos los múltiplos utilizados para tal reducción, como se muestra en la parte de abajo en color rojo. El resultado de esta multiplicación es el MCM el cuál es el nuevo denominador de la operación. 

Ya obtenido el MCM o el nuevo denominador, se coloca la suma y resta de los nuevos numeradores, estos se obtienen realizando la división del nuevo denominador (ó MCM) sobre el denominador original, es decir, para nuestra primera fracción tenemos que dividir 120 (el MCM) entre 8 (el primer denominador) siendo igual a 15, el cuál se multiplica por 3 (el numerador). Se coloca el signo de la siguiente fracción, el cual es negativo y se repite el mismo procedimiento, se divide 120 (el MCM) entre 5 siendo igual a 24, el cuál multiplica a 2. Ahora se coloca el signo de la siguiente fracción, el cual es positivo y se repite el mismo procedimiento, se divide 120 (el MCM) entre 3 siendo igual a 40, el cuál multiplica a 5. 

Finalmente, se realizan las operaciones correspondientes, en primer lugar se realizan las multiplicaciones para terminar realizando las sumas y restas y así obtener el resultado final de nuestra operación. 

Suma y Resta de Fracciones con Diferente Denominador

 

Suma y Resta de Fracciones con Diferente Denominador 

Para realizar la suma de fracciones con diferente denominador vamos a utilizar la imagen que tenemos a continuación. Podemos observar que denotamos con azul los numeradores y con rojo denotamos los denominadores. Para realizar la suma de fracciones vamos a comenzar realizando la multiplicación de los denominadores cuyo resultado será el nuevo denominador. A continuación, vamos a realizar una multiplicación cruzada, es decir, el numerador de la primera fracción va a multiplicar al denominador de la segunda fracción y se le va a sumar la multiplicación del segundo numerador por el primer denominador. Como se puede observar en la imagen. 

Finalmente, tenemos que realizar las operaciones en orden, es decir, en primer lugar realizaremos las multiplicaciones correspondientes y después realizaremos la sumas correspondientes, obteniendo así nuestro resultado final. 

NOTA: En caso de tener muchas sumas de fracciones con diferente denominador puedes realizar en primer lugar la suma de dos fracciones y luego sumar el resultado con la siguiente fracción ó puedes obtener el mínimo común múltiplo, tema que vamos a ver a continuación. 

El caso de la resta de fracciones con diferente denominador es igual a la suma de fracciones con diferente denominador. Únicamente cambia la operación de suma por la resta, al momento de hacer las multiplicaciones cruzadas, como podemos ver en la imagen.  

Suma y Resta de Fracciones con mismo Denominador

 

Suma y Resta de Fracciones con mismo Denominador 

La suma de fracciones con mismo denominador es la operación más sencilla dentro de las fracciones. Podemos observar en la siguiente imagen que al tener el mismo denominador podemos reescribir esta suma como la suma de los numeradores sobre el mismo denominador.

En el caso de la resta de fracciones con mismo denominador, se realiza el mismo procedimiento que con la suma. Ya que tenemos el mismo denominador podemos reescribir la resta como la resta de numeradores sobre el mismo denominador. 

Conversión de Fracción Impropia a Fracción Mixta

 

Fracción Impropia a Mixta 

Para el caso contrario de pasar de una fracción impropia a una fracción mixta, se realiza la división del numerador entre el denominador, es decir, el numerador pasa a ser el dividendo mientras que el denominador pasa a ser el divisor. Como se mencionó anteriormente una fracción mixta es aquella fracción que tiene una parte entera y una parte fraccionaria. Al realizar la división, en la imagen que se muestra a continuación, podemos observar que el 3, que es el cociente de la división, lo vamos a escribir como la parte entera de la fracción mixta. Por otro lado, el residuo se obtiene de la resta del dividendo menos la multiplicación del denominador por el divisor, es decir, 10 - 3(3) = 10 -9 = 1, obteniendo 1 como residuo, en donde este residuo va a ser el numerador de la fracción mixta. Finalmente, cabe recalcar que se mantiene constante el denominador de la fracción impropia original en la fracción mixta. 

Conversión de Fracciones Mixtas a Fracciones Impropias

 

Fracción Mixta a Impropia

Una fracción mixta es aquella fracción que tiene una parte entera y una parte fraccionaria. En la siguiente imagen podemos ver el proceso para pasar de una fracción mixta a una impropia. En primer lugar, tenemos que identificar la parte entera, el numerador y el denominador. A continuación, el denominador multiplica la parte entera y se suma el numerador de la fracción original. Cabe señalar que el denominador lo vamos a mantener constante. Finalmente, se tienen que hacer las operaciones pertinentes, comenzando con la multiplicación y seguido de la suma. Podemos obtener el resultado final, que en el caso del ejercicio es quince cuartos. 

                

Conversión de Fracción Propia a Decimal

Fracción Propia a Decimal

Las fracciones propias, como se mencionó anteriormente, son aquellas fracciones cuyo resultado es menor a la unidad. Podemos identificarlas de manera muy sencilla ya que su numerador es menor que el denominador. Para obtener el decimal a partir de una fracción propia necesitamos realizar la división. En primer lugar, tenemos que recordar que el numerador es el entero que se va a dividir y el denominador es el entero que nos dice en cuantas partes se divide el numerador. 

Para comenzar colocamos el numerador en la división y podemos observar que el 2 no puede dividir al 1, de tal manera, que colocamos el punto y agregamos un cero al numerador. Ahora es evidente observar que el número 10 si es divisible entre 2 teniendo como resultado 0.5. De tal manera que podemos concluir que un medio es igual a 0.5. 

Conversión de Decimal a Fracción Propia

 Decimal a fracción propia

Podemos relacionar un número decimal con una fracción propia. En la siguiente imagen vemos un ejemplo en donde pasamos de un decimal a una fracción propia. En primer lugar, contamos la cantidad de números que hay después del punto, en nuestro ejemplo tenemos 4 números. Cabe resaltar que 0.0625 lo podemos escribir como fracción al dividirlo sobres uno. Estos cuatro números representan la cantidad por la que vamos a multiplicar arriba y abajo, es decir, vamos a multiplicar y dividir por 10 000. Podemos observar en el siguiente paso que al multiplicar 0.0625 por 10000 vamos a obtener 625, sin embargo, hay que recordar que se tiene que multiplicar tanto arriba como abajo, de tal manera, que 625 quedará divido sobre 10000. 

Una vez obtenida la cantidad en fracción procedemos a simplificarla. Observamos que el numerador no es divisible en 2,3 pero si es divisible en 5 al igual que el denominador, de tal manera que procedemos a realizar las simplificaciones necesarias hasta obtener la mínima expresión de la fracción original siendo un dieciseisavo la respuesta de nuestro ejercicio.