Racionalización de Monomio y Binomio

 Racionalización de Monomio

El término de racionalización es la representación de una fracción que tiene una raíz en su denominador ya sea en monomio o binomio. En otra fracción equivalente, cuyo denominador sea un número racional. Esto lo vamos a conseguir multiplicando tanto el numerado como el denominador por un número que complemente la fracción. 

 Este término lo vamos a utilizar dentro de todo nuestro curso de cálculo, además, es muy usado al momento de sacar el complejo conjugado dentro de los números complejos. 

Racionalización de Binomio

Para hacer esta racionalización vamos a multiplicar por su conjugado. Es decir, al tener un binomio (a + b) su conjugado será (a – b) y viceversa. Vamos a adelantarnos un poco a los productos, ya que, el producto de dos binomios conjugados da como como resultado una diferencia de cuadrados la cual necesitamos para eliminar la raíz. Veamos a continuación.

Raíz

 Raíces

La raíz es la operación inversa a los exponentes. Como toda operación tiene sus partes n es el índice mientras que a es el radicando, finalmente, al momento de hacer la operación el resulta es la raíz. 

Propiedades de las raíces

1)  La primera propiedad y la más importante nos índica que si el exponente y el índice es el mismo el resultado será el mismo radicando.

2) La segunda propiedad nos índica que si el exponente y el índice son diferentes, este lo podemos escribir como el radicando elevado a la fracción donde el numerador será el exponente y el denominador es el índice. 

3) La tercera propiedad nos indica que hacer cuando tenemos la multiplicación de dos raíces las cuales comparten un mismo índice, esta la podemos escribir como la raíz del mismo índice de la multiplicación de los radicandos (ab).

4) La cuarta propiedad nos indica el resultado de la multiplicación de dos raíces con diferentes índices, en donde el resultado va a ser la raíz de la multiplicación de los índices y el radicando será la multiplicación del radicando de la primera raíz elevado al índice de la segunda raíz por el radicando de la segunda raíz elevado al índice de la primera raíz.

5) La quinta propiedad nos índica que si tenemos las raíz de una raíz el resultado será la raíz del mismo radicando sólo que el índice será la multiplicación de los dos índices. 

6) La sexta propiedad nos indica que sí tenemos una fracción en donde el numerador y el denominador tienen raíces y estas comparten un mismo índice podemos reescribirlo como la raíz de toda la fracción.

7) La séptima propiedad nos indica que sí tenemos una fracción en donde el numerador y denominador tienen raíces y estas no comparte el mismo índice, podemos reescribirlo como raíz de toda la fracción, en donde el índice será igual a la multiplicación de los índices, por otro lado el número será elevado al índice de la segunda raíz y el denominador será elevado al índice de la primera raíz. 

Potencias

 Potencias

Conocemos la potencia comúnmente como un producto entre una base por sí misma, un cierto número de veces. Sin embargo, ¿Cómo denotamos esta operación? Observamos en la imagen las partes principales de la potencia donde "a" es la base y "n" es el exponente. Esta operación nos índica que vamos a multiplicar "a" por sí mismo "n" veces.

En la siguiente imagen esta expresado un pequeño ejercicio, en donde, lo leemos como dos elevado al cubo. Esta operación nos indica que el número dos (la base) se va a multiplicar por sí misma tres veces (exponente). A continuación, se realiza la multiplicación de 2x2x2 cuyo resultado es igual a ocho. 

Potencias Pares e Impares

Antes de adentrarnos en las operaciones y las leyes de las potencias tenemos que aprender el resultado esperado al tener potencias pares e impares. En primer lugar, podemos ver en la imagen que tenemos dos expresiones y en ambas números positivos.

La primera expresión nos dice que cualquier número positivo elevado a una potencia par nos va a dar como resultado un número positivo. De igual manera, si tenemos un número positivo elevado a una potencia impar tendremos como resultado un número positivo (como podemos ver en la segunda expresión). Esto no ocurre al tener un número negativo. 

En el caso de tener un número negativo no se cumple las misma propiedades que los números positivos. Podemos ver en la primera expresión que sí tenemos un número negativo elevado a una potencia par vamos a tener como resultado un número positivo. Mientras que en la segunda expresión podemos ver que si tenemos un número negativo elevado a una potencia impar vamos a tener como resultado un número negativo. 

El orden de las operaciones es importante, es por eso que tenemos que hacer repesar la importancia del orden. Muchas veces nos confundimos al momento de realizar estas operaciones es por eso que en la imagen pueden ver la diferencia de estas operaciones. 

La primera expresión nos indica que todo el número que esta dentro del paréntesis va a estar elevado a la potencia "n" por otro lado, la segunda expresión nos indica que únicamente el número que tiene la potencia será elevado a la "n". En donde concluimos que son operaciones completamente distintas. 

Una vez comprendido los conceptos básicos de los exponentes vamos a entender las leyes de los exponentes. Básicamente, estas nos ayudaran a realizar las operaciones fundamentales con exponentes. 

1) La primera ley nos indica que si tenemos un número elevado a la cero será igual a la unidad. 

2) La segunda ley nos indica que sí tenemos un número elevado a la unidad será igual al mismo número. 

3) La tercera ley nos indica el resultado de tener la multiplicación entre dos potencias que tienen la misma base, el resultado será la misma base elevada a la suma de los exponentes. 

4) La cuarta Ley nos indica el resultado de tener la división dos potencias, las cuales comparten la misma base, el resultado será la misma base elevada a la resta de los exponentes. 

5) La quinta Ley nos indica el resultado de tener una potencia elevada a otra potencia donde el resultado será la misma base elevada a la multiplicación de los exponentes. 

6) La sexta Ley nos indica que si tenemos bases diferentes multiplicadas entre sí y estas están elevadas a la potencia n, podemos rescribirlo como cada una de las bases elevadas a al exponente "n" y multiplicados entre sí. 

7) La séptima Ley nos indica que si tenemos una fracción elevada a la potencia n, esta la podemos reescribir como el numerado y el denominador elevados a la potencia n. 

8 y 9) La octava y novena Ley van a acompañadas y son útiles al momento de realizar operaciones con binomios. En donde si tenemos una base elevada a una potencia negativa esta la podemos escribir como una fracción, en donde el denominador será la base elevada al exponente positivo. De igual manera, podemos observar que si tenemos una base elevada a una potencia positiva esta la podemos escribir como una fracción en donde el denominador será la base elevada a al exponente negativo. 

10) La decima ley nos ayuda para no trabajar con potencia negativas debido a que muchas veces nos confundimos, es decir, si tenemos una fracción elevada a una potencia negativa, podemos escribirlo como el inverso de la fracción elevado a una potencia positiva. 

11) Finalmente, la onceava ley nos da paso a las raíces, y nos dice, que sí tenemos una raíz en donde el índice y el exponente son diferentes, esta la podemos escribir como el radicando elevado a una fracción, donde el numerador será el exponente y el denominador será el índice. 

A continuación les dejo unos vídeos de nuestro canal de YT donde podrán encontrar ejercicios utilizando estas leyes. 

Máximo Común Divisor (MCD)

 

Máximo Común Divisor (MCD)

El Máximo Común Divisor es una operación similar al Mínimo Común Múltiplo. Esta operación consiste en obtener aquel número mayor común el cual pueda dividir el conjunto de números que tenemos. En el siguiente ejemplo tenemos 3 números los cuales son 60, 72 y 84 a los cuales hay que sacar el MCD.

Comenzaremos descomponiendo el conjunto de números, es decir, vamos a descomponerlos en números comunes. Al trazar la línea vertical vamos a colocar la operación de división a un lado del conjunto. Podemos observar que 60, 72 y 84 son números que tienen mitad entones colocamos el dos al lado de este conjunto y hacemos la división; obteniendo un nuevo conjunto números 30, 36 y 42.

A continuación, con este nuevo conjunto de números vamos a sacar nuevamente la mitad a todo el conjunto. Colocando primero el 2 aun lado de la línea vertical y realizando la operación de división obtenemos un nuevo conjunto de número 15, 18 y 21. 

Finalmente, observamos que este nuevo conjunto de números es divisible entre 3, entonces, colocamos el 3 del lado de la línea vertical y realizamos la división obteniendo un nuevo conjunto de números siendo 5, 6 y 7. Este es nuestro último conjunto de números debido a que no hay otro número común el cual divida a este conjunto, contrario al mínimo común múltiplo, en esta operación NO buscamos llegar a la unidad dentro del conjunto. 

Para obtener el MCD sólo tenemos que realizar la multiplicación de los números comunes que hemos obtenido, es decir, la multiplicación de 2x2x3 obteniendo que el MCD es igual a 12. 

División de Fracciones

 División de Fracciones

Para la división de dos o más fracciones se realiza la multiplicación cruzada de las fracciones como se puede ver en la imagen. Comenzando con la multiplicación del primer numerador (3) por el segundo denominador (7), este resultado (21) se coloca como el numerador de la fracción resultante. A continuación, se realiza la multiplicación del primer denominador (5)  por el segundo numerador (2) y el resultado (10) se coloca como el denominador de la fracción resultante.

Esta operación también la podemos describir como la siguiente imagen. Sí indicamos la división de fracciones como una fracción, podemos multiplicar los extremos y el resultado será el numerador de la fracción final, mientras que la multiplicación de los valores medios será el denominador de la fracción final. 

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Multiplicación de Fracciones

 Multiplicación de Fracciones

Realizar la multiplicación de fracciones es una de las operaciones más sencillas. Como podemos ver en la imagen, esta operación consta en realizar la multiplicación de los numerados y la multiplicación de los denominadores. Esta operación se realiza con tantas fracciones se estén multiplicando. Finalmente, al hacer las multiplicaciones y obtener el resultado final tenemos que obtener una fracción equivalente, es decir, simplificar la fracción en otra mas sencilla. 

Suma y Resta de Enteros con Fracciones

 

Suma y Resta de Enteros con Fracciones

Comenzando con la suma de un entero más una fracción (ya sea propia o impropia); vamos a colocar un uno (1) como denominador de "a", como podemos observar en la imagen. Sabemos que al dividir a entre la unidad nuestro resultado nuevamente será "a" concluyendo que al introducir uno (1) como denominador no afectará la parte entera. 

Una vez obtenido "a" como un número fraccionario podemos realizar la suma de fracciones. Es evidente observar que tenemos dos denominadores diferentes por ende utilizaremos la suma con diferentes denominadores, sin embargo, como uno de los denominadores es la unidad se facilita la suma debido a que el denominador lo obtenemos de la multiplicación de "1" por "d" siendo el resultado "d" y como mencionamos anteriormente los denominadores se obtienen por la multiplicación cruzada, obteniendo "a" por "d" mas "c" que multiplica a "1" siendo igual "c" para así obtener la expresión final que se muestra en la imagen. 

La resta de fracciones con enteros se realiza de la misma manera que la suma. Únicamente se cambia la operación de suma por la resta como se puede observar en la imagen.

Mínimo Común Múltiplio

 

Mínimo Común Múltiplo (MCM)

El mínimo común múltiplo es el menor número de los múltiplos que es común a un conjunto de números. Este múltiplo se utiliza cuando realizamos cualquier operación en donde intervienen tres o más fracciones. Podemos observar que en el siguiente ejemplo tenemos la suma y resta de tres fracciones. Para realizar esta operación simultáneamente tenemos que obtener el mínimo común múltiplo. 

Vamos a comenzar denotando el conjunto de números que vamos a utilizar, en este caso, van a ser los denominadores de las fracciones. Se traza una línea junto a este conjunto de números, denotando una separación con las operaciones que vamos a realizar. 

A continuación, vamos a descomponer los conjuntos de números; es decir, vamos a reducirlos a la unidad (a uno) y esto lo vamos a realizar dividiendo estos números en enteros más pequeños. Podemos observar que tenemos un dos al lado de nuestro conjunto de números. Este dos denota que vamos a dividir el conjunto de números entre dos. Entonces, al realizar la división colocamos el resultado debajo del mismo conjunto de números observando que únicamente el 8 tiene mitad, mientras que el 5 y el 3 no, por lo cual permanecerán iguales. Se repite la operación de división entre 2 hasta que no haya un entero dentro del conjunto de números que pueda ser divisible entre dos. A continuación se realiza el mismo procedimiento con los enteros siguientes más pequeños. Es evidente observar que el 3 es un número primo el cual es divisible entre el mismo así como el 5, de tal manera que se colocan tanto el 3 como 5 para obtener finalmente, la unidad del conjunto de números previamente seleccionados. 

NOTA: Los múltiplos por los cuales se realizan las divisiones, no pueden ser mayores a 7. 

Una vez  reducidos todos los elementos del conjunto de números a la unidad, se realiza la multiplicación de todos los múltiplos utilizados para tal reducción, como se muestra en la parte de abajo en color rojo. El resultado de esta multiplicación es el MCM el cuál es el nuevo denominador de la operación. 

Ya obtenido el MCM o el nuevo denominador, se coloca la suma y resta de los nuevos numeradores, estos se obtienen realizando la división del nuevo denominador (ó MCM) sobre el denominador original, es decir, para nuestra primera fracción tenemos que dividir 120 (el MCM) entre 8 (el primer denominador) siendo igual a 15, el cuál se multiplica por 3 (el numerador). Se coloca el signo de la siguiente fracción, el cual es negativo y se repite el mismo procedimiento, se divide 120 (el MCM) entre 5 siendo igual a 24, el cuál multiplica a 2. Ahora se coloca el signo de la siguiente fracción, el cual es positivo y se repite el mismo procedimiento, se divide 120 (el MCM) entre 3 siendo igual a 40, el cuál multiplica a 5. 

Finalmente, se realizan las operaciones correspondientes, en primer lugar se realizan las multiplicaciones para terminar realizando las sumas y restas y así obtener el resultado final de nuestra operación. 

Suma y Resta de Fracciones con Diferente Denominador

 

Suma y Resta de Fracciones con Diferente Denominador 

Para realizar la suma de fracciones con diferente denominador vamos a utilizar la imagen que tenemos a continuación. Podemos observar que denotamos con azul los numeradores y con rojo denotamos los denominadores. Para realizar la suma de fracciones vamos a comenzar realizando la multiplicación de los denominadores cuyo resultado será el nuevo denominador. A continuación, vamos a realizar una multiplicación cruzada, es decir, el numerador de la primera fracción va a multiplicar al denominador de la segunda fracción y se le va a sumar la multiplicación del segundo numerador por el primer denominador. Como se puede observar en la imagen. 

Finalmente, tenemos que realizar las operaciones en orden, es decir, en primer lugar realizaremos las multiplicaciones correspondientes y después realizaremos la sumas correspondientes, obteniendo así nuestro resultado final. 

NOTA: En caso de tener muchas sumas de fracciones con diferente denominador puedes realizar en primer lugar la suma de dos fracciones y luego sumar el resultado con la siguiente fracción ó puedes obtener el mínimo común múltiplo, tema que vamos a ver a continuación. 

El caso de la resta de fracciones con diferente denominador es igual a la suma de fracciones con diferente denominador. Únicamente cambia la operación de suma por la resta, al momento de hacer las multiplicaciones cruzadas, como podemos ver en la imagen.  

Suma y Resta de Fracciones con mismo Denominador

 

Suma y Resta de Fracciones con mismo Denominador 

La suma de fracciones con mismo denominador es la operación más sencilla dentro de las fracciones. Podemos observar en la siguiente imagen que al tener el mismo denominador podemos reescribir esta suma como la suma de los numeradores sobre el mismo denominador.

En el caso de la resta de fracciones con mismo denominador, se realiza el mismo procedimiento que con la suma. Ya que tenemos el mismo denominador podemos reescribir la resta como la resta de numeradores sobre el mismo denominador. 

Conversión de Fracción Impropia a Fracción Mixta

 

Fracción Impropia a Mixta 

Para el caso contrario de pasar de una fracción impropia a una fracción mixta, se realiza la división del numerador entre el denominador, es decir, el numerador pasa a ser el dividendo mientras que el denominador pasa a ser el divisor. Como se mencionó anteriormente una fracción mixta es aquella fracción que tiene una parte entera y una parte fraccionaria. Al realizar la división, en la imagen que se muestra a continuación, podemos observar que el 3, que es el cociente de la división, lo vamos a escribir como la parte entera de la fracción mixta. Por otro lado, el residuo se obtiene de la resta del dividendo menos la multiplicación del denominador por el divisor, es decir, 10 - 3(3) = 10 -9 = 1, obteniendo 1 como residuo, en donde este residuo va a ser el numerador de la fracción mixta. Finalmente, cabe recalcar que se mantiene constante el denominador de la fracción impropia original en la fracción mixta. 

Conversión de Fracciones Mixtas a Fracciones Impropias

 

Fracción Mixta a Impropia

Una fracción mixta es aquella fracción que tiene una parte entera y una parte fraccionaria. En la siguiente imagen podemos ver el proceso para pasar de una fracción mixta a una impropia. En primer lugar, tenemos que identificar la parte entera, el numerador y el denominador. A continuación, el denominador multiplica la parte entera y se suma el numerador de la fracción original. Cabe señalar que el denominador lo vamos a mantener constante. Finalmente, se tienen que hacer las operaciones pertinentes, comenzando con la multiplicación y seguido de la suma. Podemos obtener el resultado final, que en el caso del ejercicio es quince cuartos. 

                

Conversión de Fracción Propia a Decimal

Fracción Propia a Decimal

Las fracciones propias, como se mencionó anteriormente, son aquellas fracciones cuyo resultado es menor a la unidad. Podemos identificarlas de manera muy sencilla ya que su numerador es menor que el denominador. Para obtener el decimal a partir de una fracción propia necesitamos realizar la división. En primer lugar, tenemos que recordar que el numerador es el entero que se va a dividir y el denominador es el entero que nos dice en cuantas partes se divide el numerador. 

Para comenzar colocamos el numerador en la división y podemos observar que el 2 no puede dividir al 1, de tal manera, que colocamos el punto y agregamos un cero al numerador. Ahora es evidente observar que el número 10 si es divisible entre 2 teniendo como resultado 0.5. De tal manera que podemos concluir que un medio es igual a 0.5. 

Conversión de Decimal a Fracción Propia

 Decimal a fracción propia

Podemos relacionar un número decimal con una fracción propia. En la siguiente imagen vemos un ejemplo en donde pasamos de un decimal a una fracción propia. En primer lugar, contamos la cantidad de números que hay después del punto, en nuestro ejemplo tenemos 4 números. Cabe resaltar que 0.0625 lo podemos escribir como fracción al dividirlo sobres uno. Estos cuatro números representan la cantidad por la que vamos a multiplicar arriba y abajo, es decir, vamos a multiplicar y dividir por 10 000. Podemos observar en el siguiente paso que al multiplicar 0.0625 por 10000 vamos a obtener 625, sin embargo, hay que recordar que se tiene que multiplicar tanto arriba como abajo, de tal manera, que 625 quedará divido sobre 10000. 

Una vez obtenida la cantidad en fracción procedemos a simplificarla. Observamos que el numerador no es divisible en 2,3 pero si es divisible en 5 al igual que el denominador, de tal manera que procedemos a realizar las simplificaciones necesarias hasta obtener la mínima expresión de la fracción original siendo un dieciseisavo la respuesta de nuestro ejercicio. 

Simplificación de fracciones

 Simplificación

La simplificación de una fracción consiste en transformar la fracción original en una fracción equivalente más simple, es decir, se descompone en términos más sencillos. Esto se realiza descomponiendo el numerador y el denominador al mismo tiempo, en términos más sencillos. El ejemplo que tenemos a continuación nos muestra que doce dieciochoavos lo podemos escribir como 2 que multiplica a 6 sobre 2 que multiplica a 9, de tal manera, que podemos eliminar el 2 del numerador y el denominador. A continuación, podemos observar que tanto 6 como 9 se pueden descomponer factorizando un 3, entonces podemos escribir a 6 como 3 por 2 y 9 como 3 por 3, para que así podamos eliminar el 3 del numerador y el denominador. Finalmente, obtenemos que dos tercios es una fracción simplificada y equivalente a doce dieciochoavos. 

Partes y tipos de Fracciones

 Fracciones

Las fracciones forman parte de los números que utilizamos dentro de la vida cotidiana. Específicamente forman parte de los números fraccionarios. Estos son el cociente de dos números; como se expresa en la siguiente imagen. En donde el número superior es conocido como el numerador y el número inferior es el denominador. 

El numerador es el número entero a dividir, por otro lado, el denominador es el número entero que nos dice las partes en las que se divide el numerador. De manera grafica lo vemos ilustrado en la siguiente imagen. 

              

En la parte superior vemos el ejemplo de un entero y un cuarto, donde la parte entera nos indica el número de partes completas, en esta ocasión tendríamos una. La parte de cuarto (denominador)  nos indica en cuantas partes vamos a fraccionar el entero, en esta ocasión serán cuatro. Finalmente, un (numerador) nos indica las partes que vamos a tomar de la fracción anterior, en esta ocasión será una. 

En la parte inferior tenemos el ejemplo de un cuarto. Al no tener una parte entera nos quedamos únicamente con la fracción. Nuevamente, la parte de cuarto (denominador) nos indica en cuantas partes vamos a fraccionar el entero. Mientras que la parte un (numerador) nos indica las partes que vamos a tomar de la fracción siendo una. 

Las fracciones se clasifican en dos tipos como propias y como impropias. Las fracciones propias son aquellas cuyo valor es menor a la unidad. Por otro lado, las fracciones impropias son aquellas cuyo valor es mayor a la unidad. Las podemos identificar de manera sencilla observando el numerador, debido a que en una fracción propia el numerador es menor al denominador, mientras que, en las fracciones impropias el numerador es mayor al denominador.